Albert Einstein（爱因斯坦）于 1916 年发现了受激发射。但这种激光大约是在 1957 年，由三位美国科学家 C.H. Townes，A.L. Schawlow 或 G. Gould 中的一个发明的。（关于谁首先发现了激光理论，有一场专利之争，而关于是谁提出这个想法也仍然有争议。）1960 年，Theodore Maiman 制造了第一台激光器。

激光在许多应用中都非常有用，例如切割、穿孔、熔化、烧蚀、无线电通信，测量和光谱学等。1960 年代，A.G. Fox，http://T.Li 和 H. Kogelnik 通过基于光学近轴理论的计算场分布，提出了高斯光束和预测激光稳定性的方法，在激光研究方面取得了进一步的进展。即使在六十年后的今天，这些理论仍然是处理和设计激光器的基础。

在这些理论中，Kogelnik 的激光稳定性理论对激光工程特别有用。该理论包括两个部分：

    近轴光学理论可预测激光腔中产生的高斯光束几何光学理论可预测激光束何时在腔中保持稳定

由于热透镜效应，激光打开或泵浦后可能会停止工作。激光晶体被另一个光源或多个光源泵浦会引起粒子数反转。该过程中，由于泵浦光的剩余能量产生不期望的热量，这些剩余能量不用于诱发受激发射。不期望的热量导致不期望的折射率变化，并导致晶体表面膨胀。

Kogelnik 的理论涵盖了包括柱状透镜在内的所有激光腔，通过抛物线拟合晶体中的温度分布来近似热透镜效应。
一种掺钛蓝宝石飞秒激光器。来自 Ar 激光器的绿色激光用于泵浦 Ti：蓝宝石晶体，发出橙色的眩光，以进行粒子数反转。）激光晶体是一个圆棒，但是有一个倾斜的切口，称为布鲁斯特切口（Brewster cut）。泵浦光束以布鲁斯特角（Brewster angle）进入晶体表面，以避免不期望的菲涅耳反射（Fresnel reflect
分析激光稳定性的方法

Kogelnik 理论的稳定性思想非常简单：如果经过一定数量的往返行程后，在激光腔镜之间来回反弹的光线没有从腔中逸出，则激光束是稳定的。该理论通过使用基于近轴光学而不是真实射线追踪的 ABCD 矩阵理论，更加简洁和有条理。

在这个理论中，热透镜被建模为具有一定焦距的薄透镜。通过利用抛物线拟合的激光晶体中的温度分布来计算焦距。因此，ABCD 矩阵理论和抛物线拟合方法很容易执行，并能产生理想的结果。我们只需要知道光学元件的距离、所涉及透镜的焦距以及反射镜的曲率半径即可。

所有折叠镜均由具有等效焦距的透镜代替，并且使用近似焦距表示热透镜效应，而不是给定的泵浦功率（以瓦特为单位）。光学器件不能倾斜，光学布局可以直线地展平为一维。

这种方法太简单了，因此无法处理更复杂、更实用的激光腔。如果要以3D的形式查看结果或在稳定性分析中添加棱镜，该怎么办？如果要通过折叠镜折叠激光束或倾斜其中一个光学元件怎么办？给定泵浦功率，而不是近似的焦距，该怎么办？另外，为什么不进行任何限制或近似的光线跟踪和热分析？

在不考虑热透镜效应的情况下执行激光器稳定性分析几乎是无用的，因为每个激光器都会被泵浦。因此，我们需要进行与稳定性分析相对应的热分析，它不能与射线追踪分开分析。通过在 COMSOL Multiphysics 中耦合传热 和几何光学 接口，我们可以获得所需的所有工具。
在 COMSOL Multiphysics® 中分析具有共焦腔的激光器

下面,我们来看一个简单的激光腔示例模型，并简要概述 ABCD 矩阵方法的工作原理以及它与 COMSOL Multiphysics 仿真结果的一致性。本节补充了 Kogelnik 自己的一篇研究论文的一部分（参考资料 1）。在 ABCD 矩阵方法中，遵循 Hecht 表示法（参考资料 2），光线可以由一个 2×1 阶列向量中的光线角度 θ 和光线位置 y 表征为

[公式]

所有的光学过程，包括传播、折射、反射、聚焦和散焦，都由称为射线传输矩阵的 2×2 矩阵表示。

例如，通过距离 L 的传播由一个 2×2 矩阵表示

[公式]

在空气中一个曲率半径为 R 的镜子上的反射可以表示为

[公式]

示例激光腔中具有一对相同的反射镜，其曲率半径为 [公式] ，腔体长度 [公式] 。该腔体如下图所示，称为“共焦腔”。
几次反弹后，在 COMSOL Multiphysics 中对共焦腔进行射线跟踪。

将 [公式] 和 [公式] 设置为初始射线角度和位置。（对于 ABCD 矩阵方法， x 的位置不重要，将初始光线设置为 x=0m，即在左镜的中心。）由 ABCD 矩阵方法可知，沿腔体长度传播的射线位置和下一个角可以由下式计算

[公式]

这是右反射镜上的光线角度和位置（在反射之前）。反射后，下一个射线角度和位置仍在右反射镜上，但朝向左。它们可以由下式计算

[公式]

然后，沿腔体长度的另一次传播使光线返回到原来的左镜，可由下式计算

[公式]

最后，经左镜反射后的一次往返的结束，由下式计算

[公式]

该值可以在上图中得到确认。

这种方法的优点在于，我们仅需进行矩阵运算来了解射线的行为。我们可以计算出一个矩阵 M，它表示射线的传播和反射序列为

[公式]

其结果与先前的结果相同：

[公式]

该传递矩阵 [公式] 具有 [公式] 的性质。即，经过三个往返之后，它变成单位矩阵。实际上，这可以通过 Sylvester’s theorem （西尔维斯特惯性定理）进行分析证明，而无需计算矩阵乘积：

[公式]

其中， [公式] 。

将 [公式] 代入上面的公式中的 [公式] 矩阵中，得到 [公式] 。我们可以通过下图中的射线追踪来确认这一点，其中光线路径是由往返次数着色的。
与前一个图相同的共焦腔的射线追踪结果表明，光线在往返 3 次后返回到了初始位置。

在这种情况下，可以说该腔体是稳定的，这意味着该腔体内部的射线不会从中逸出。上面的公式可以得出这样一个普遍的结果：当矩阵的迹为 [公式] 时，由矩阵表示的序列是稳定的。

在本示例中，矩阵的迹被计算为 [公式] 。因此，它是稳定的。

如下图所示，还可以通过绘制单位波矢量的 y 分量来查看结果。该图显示，射线方向会定期改变，但不会增长，并且在 3 次往返之后会返回相同的值。大体上，±0.15rad 是射线进入腔体内的上下边界，下图证明了这种情况。
单位波矢量的 y 分量。射线的方向以有限的最小和最大值为边界，这意味着射线不会偏离到腔镜之外。
更改激光器的腔体长度

下面我们来讨论另一个例子。

选择腔体长度为 [公式] 。该腔体距离共焦腔有点远。这种有意调整的空腔长度可确保 [公式] 。因此，在经过 20 次往返之后，传递矩阵变成了单位矩阵，并且获得了初始射线角度和位置。这时，传输矩阵为

[公式]

该传输矩阵的 20 次乘积为 [公式] 。我们可以通过下图中的射线追踪来确认这一点。红色箭头确实指向原镜的中心并指向原方向。
经 20 次往返之后，具有相同反射镜且腔体长度稍长的激光腔的射线追踪结果。
单位波矢量的 y 分量。

通常，曲率半径为 [公式] 的右反射镜，半径为 [公式] 的左反射镜和一个行程的腔长 L 的传输矩阵可写为

 

经过一些简单的运算，由矩阵的迹得出的稳定条件表示为

 

该稳定性公式可进一步扩展到在腔中包含透镜的情况。在腔体内引入透镜会使传递矩阵变得复杂，在这里不再写出，但是稳定性标准仍然很简单。添加焦距为 f 的镜头，将稳定条件修改为

到目前为止，我们已经通过 ABCD 方法与 COMSOL Multiphysics 中的射线追踪功能研究了一些基本的激光腔稳定性分析。两种方法的稳定性结果吻合良好。
模拟焦距变化的激光器

现在，我们来看最后一个示例。在本示例中，对上一个示例中的焦距进行了参数化和更改，并在著名的稳定性图表中绘制了腔稳定性的变化。在 Kogelnik 的理论中，通过使用由 [公式] 和 [公式] 定义的一组新变量，将之前的稳定性条件公式改写为

[公式] 在下面著名的稳定性图中，以 [公式] 和 [公式] 分别作为水平轴和垂直轴，将稳定区域绘制为阴影线区域。如果由原腔体参数 [公式] ， [公式] 和 [公式] 导出的 [公式] 和 [公式] 在阴影区域内，则根据 Kogelnik 的理论，激光腔是稳定的。对于前面的示例，我们为两个反射镜设置了相同的曲率半径。因此 [公式] ，因此 [公式] 对称，这导致 [公式] 。这在稳定性图中表示为一个 45 度线。当腔体参数改变时， [公式] 和 [公式] 的值沿通过第一象限和第三象限的线改变。

接下来，我们来看看它是如何可视化的。将镜的曲率固定为 0.1m，腔长固定为0.084357 m，同时将透镜的焦距从 15mm 更改为 40mm（以 5mm 为增量）。下图显示了 Kogelnik 对带有透镜的特定激光腔的理论结果。对于f=25、30、35 和 40mm，激光是稳定的， [公式] 分别为 0.67091，0.43100，0.29200 和 0.20545。

这些值被绘制在阴影区域，而焦距为 15 和 20mm 会使该激光器不稳定，因为它们的 [公式] 值超过 1.0，分别为 1.1299 和 2.1593。下图绘制了该激光腔的理论预测值。图的侧面为每个焦距的光线追踪结果，显示出与理论的完美匹配。在 COMSOL 计算中，一旦光线离开腔体，内置停止条件就会终止计算。实际计算时间 T 与预设计算时间 [公式] （在这种情况下为 50ns）之比， [公式] 表示腔稳定性，如果 Ť0 选择适当。除 1.0 以外的任何稳定性指数值可能都无济于事，因为我们知道，当激光不稳定时，它会很快关闭。换句话说，激光稳定性的变化几乎是数字化的，即 1（打开）或 0（关闭）。
比较 Kogelnik 的稳定性理论和 COMSOL Multiphysics 带有薄透镜的共焦腔的射线追踪结果。

最后一个示例显示在考虑热透镜效应的情况下，射线追踪可以进行激光腔稳定性分析，因为该示例是 Kogelnik 的热透镜激光腔模型。按照 Kogelnik 的理论，由泵浦激光加热的激光晶体被具有一定焦距的薄透镜所代替。一旦知道了晶体内部的温度分布，就可以通过 [公式] 求出一阶近似值，其中 n， [公式] 是有泵浦和无泵浦的折射率分布，Ť， [公式] 是有和没有泵浦时的温度分布；dN/dT 是随温度变化的折射率变化。

如果晶体是棒状，则泵浦的激光晶体的折射率在中心附近的分布近似为抛物线形状，即 n（ [公式] ），其中 r 是极坐标系中的径向距离，其 z 轴沿着泵浦光轴。将计算出的折射率分布拟合到该抛物线以获得拟合参数 a。一旦该参数被计算出，即代表热透镜效应的焦距可以近似表示为 [公式] ，其中 L 是晶体长度（参考文献3）。热透镜效应还包括表面膨胀，这会引起折射角的变化，我们可以一种类似的方式对此进行分析。
结语

使用 COMSOL Multiphysics，我们无需进行拟合。我们只需使用传热 和固体力学 接口进行热和力学模拟，以了解新的折射率分布和表面膨胀，然后简单地使用射线光学接口进行射线追踪，以了解在热透镜效应下激光腔的稳定性。